Lp-Räume - Mathepedia (2024)

$\bm{L}^{\bm{p}}$Lp-Räume spezielle Banachräume. Das $\bm{L}$L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Lebesgue zurück, da diese Räume über das Lebesgue-Integral definiert werden. Manchmal werden sie daher auch als Lebesgue-Räume bezeichnet. Das $p$p in der Bezeichnung ist ein reeller Parameter: Für jede Zahl $1\le p \le \infty$1≤p≤∞ ist ein $L^{p}$Lp-Raum definiert.

Definition

Funktionenraum mit Halbnorm

Die Abbildung $\|f\|_p := \braceNT{\int\limits_\Omega \|f(x)\|^p \, d\mu(x)}^{1/p}$∥f∥p​:=(Ω∫​∥f(x)∥pdμ(x))1/p ist eine Halbnorm auf $\mathcal{L}^p$Lp. Die Dreiecksungleichung für diese Halbnorm wird Minkowski-Ungleichung genannt und mit Hilfe der Hölder-Ungleichung bewiesen. Nach dem Riesz'schen Vollständigkeitssatz ist der Raum mit dieser Halbnorm versehen vollständig.

$\|\cdot\|_p$∥⋅∥p​ ist genau dann eine Norm, wenn die einzige Nullmenge die leere Menge ist. Gibt es nämlich eine Nullmenge $N\neq\emptyset$N=/​∅, so ist die charakteristische Funktion $1_{N}$1N​ ungleich der Nullfunktion, aber es gilt $\|1_N\|_p=0$∥1N​∥p​=0.

Faktorraum mit Norm

Auf dem Faktorraum $L^p:=\mathcal{L}^p/{\sim}$Lp:=Lp/∼ ist durch $\|[f]\|_p:=\|f\|_p$∥[f]∥p​:=∥f∥p​ eine Norm definiert. Dabei handelt es sich bei $[f]$[f] um die Äquivalenzklasse von $f$f und die Normdefinition hängt nicht von dem Repräsentanten aus $[f]$[f] ab, d.h. falls Funktionen $f_1,f_2\in[f]$f1​,f2​∈[f], gilt $\|f_1\|_p=\|f_2\|_p$∥f1​∥p​=∥f2​∥p​. Der normierte Vektorraum $L^p$Lp ist bzgl. der Norm vollständig und damit ein Banachraum.

Auch wenn man von sogenannten $L^p$Lp-Funktionen spricht, handelt es sich dabei um die gesamte Äquivalenzklasse einer klassischen Funktion. Allerdings liegen zwei verschiedene stetige Funktionen nie in der gleichen Äquivalenzklasse, so dass der $L^p$Lp-Begriff eine natürliche Erweiterung des Begriffs stetiger Funktionen darstellt.

Sonderfall p=$\infty$∞

Auch für $p = \infty$p=∞ kann man einen $L^{p}$Lp-Raum, den Raum der wesentlich beschränkten Funktionen, definieren. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die aber für σ-endliche Maßräume alle zusammenfallen. Am verbreitetsten ist: $\mathcal{L}^\infty(\Omega, \mathcal A, \mu; E) := \left\{ f: \Omega \to E: f \, \plain{ist \, messbar } \, , \|f\|_\infty < \infty \right\}$L∞(Ω,A,μ;E):={f:Ω→E:fistmessbar,∥f∥∞​<∞} dabei ist $\|f\|_\infty := \operatorname{ess\, sup}_{x\in\Omega}|f(x)|$∥f∥∞​:=esssupx∈Ω​∣f(x)∣ $= \inf\limits_{\matrix{ {N\in \mathcal A}\\{\mu(N) = 0}}} \sup\limits_{x\in \Omega\setminus N} |f(x)|$=N∈Aμ(N)=0​inf​x∈Ω∖Nsup​∣f(x)∣ Betrachten wir analog zu oben $L^\infty:=\mathcal{L}^\infty/\sim$L∞:=L∞/∼, erhalten wir wieder einen Banachraum.

Beispiele

Die klassischste Version eines $L^p$Lp-Raums ist durch $\Omega\subset\R^n$Ω⊂Rn gegeben. $\mathcal{A}$A beschreibt dann die Borelsche σ-Algebra $\mathcal{B}(\Omega)$B(Ω) und $\mu$μ ist dann das Lebesgue-Maß $\lambda$λ. Darüber hinaus wird oft $E$E als die Menge $\R$R der reellen Zahlen gewählt. In diesem Zusammenhang wird die Notation $L^p(\Omega):=L^p(\Omega,\mathcal{B}(\Omega),\lambda;\R)$Lp(Ω):=Lp(Ω,B(Ω),λ;R) benutzt.

In der Stochastik betrachtet man $L^p$Lp-Räume, die mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$P ausgestattet sind. Unter einer Zufallsvariable versteht man dann eine Funktion $X:\Omega\rightarrow E$X:Ω→E. Weiter ist der Erwartungswert als

$E(X):=\int\limits_\Omega X dP\in E$E(X):=Ω∫​XdP∈E

definiert. Zufallsvariablen, die $L^1$L1-Funktionen sind, besitzen also einen endlichen Erwartungswert. Da das für praktische Anwendungen immer gefordert ist, sind $L^p$Lp-Räume gerade in der Stochastik sehr wichtig.

In einem weiteren wichtigen Fall sind $\Omega$Ω die natürlichen Zahlen, und $\mu$μ das normale Zählmaß. Hier ist der $L^p$Lp-Raum der Raum aller Zahlenfolgen $\braceNT{a_n}_{n\in\N}$(an​)n∈N​, für die die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|^p$n=1∑∞​∣an​∣p konvergiert. Diese Räume werden auch oft mit $\ell^p$ℓp bezeichnet.

Wichtige Eigenschaften

• Alle $L^{p}$Lp-Räume für $1\le p \le \infty$1≤p≤∞ sind Banachräume.
• Ist $\mu \,$μ ein endliches Maß, gilt also $\mu(\Omega)<\infty$μ(Ω)<∞, so folgt aus der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte, dass $L^q\subseteq L^p \,$Lq⊆Lp für $q>p\geq 1 \,$q>p≥1.
• Für $1 < p < \infty$1<p<∞ sind die Dualräume der $L^{p}$Lp-Räume wieder $L^{p}$Lp-Räume, konkret gilt: Der Dualraum von $L^{p}$Lp ist der Raum $L^{q}$Lq, wobei q die Gleichung $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q} =1$p1​+q1​=1 erfüllt.

Genauer gilt: Für reflexive Banachräume $E$E und $1 < p < \infty$1<p<∞ ist

$L^p(\Omega,\mathcal A,\mu; E)^* \cong L^q(\Omega, \mathcal A, \mu; E^*)$Lp(Ω,A,μ;E)∗≅Lq(Ω,A,μ;E∗)

und der kanonische isometrische Isomorphismus ist durch $L^q(\Omega, \mathcal A, \mu; E^*)\to L^p(\Omega,\mathcal A, \mu; E)^*,\quad f \mapsto \braceNT{g \mapsto \int\limits_\Omega\! \langle g(x),f(x)\rangle_E \, d \mu(x)}$Lq(Ω,A,μ;E∗)→Lp(Ω,A,μ;E)∗,f↦(g↦Ω∫​⟨g(x),f(x)⟩E​dμ(x))

gegeben.

• Für $p=1$p=1 und $E = \mathbb K$E=K ist $L^1(\Omega, \mathcal A, \mu)^*$L1(Ω,A,μ)∗ zu $L^\infty(\Omega, \mathcal A, \mu)$L∞(Ω,A,μ) isomorph (der Isomorphismus analog zu oben), falls $(\Omega, \mathcal A, \mu)$(Ω,A,μ) $\sigma$σ-endlich ist. Ist $(\Omega, \mathcal A, \mu)$(Ω,A,μ) nicht $\sigma$σ-endlich, so lässt sich $L^1(\Omega, \mathcal A, \mu)^*$L1(Ω,A,μ)∗ (wieder unter dem selben Isomorphismus) als der Banachraum der lokal messbaren lokal im wesentlichen beschränkten Funktionen darstellen.
• Daraus folgt, dass für $1< p < \infty$1<p<∞ und reflexives $E$E die $L^{p}$Lp-Räume reflexiv sind.
• Der Fall $p=2$p=2 ist ein Sonderfall: Der $L^{2}$L2 ist, falls $E$E ein Hilbertraum ist, nämlich sogar ein Hilbertraum (siehe unten).
• Die Räume $L^1$L1 und $L^\infty$L∞ sind nicht reflexiv.

Verallgemeinerungen

Es gibt auch die Verallgemeinerung der $L^{p}$Lp-Räume für $0 < p <1$0<p<1. Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert, sondern nur eine Quasi-norm. In diesem Fall ist jedoch $d_p(f,g) := \int\limits_{\Omega} \|f(s)- g(s)\|^p \, ds$dp​(f,g):=Ω∫​∥f(s)−g(s)∥pds eine translationsinvariante Metrik auf $L^p(\Omega, \mathcal A, \mu; E)$Lp(Ω,A,μ;E), die diesen Raum zu einem vollständigen metrischen Vektorraum macht.

Berücksichtigt man in der Norm nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die Ableitungen, so erhält man Sobolew-Räume, die insbesondere in der Untersuchung von Differentialgleichungen eine wichtige Rolle spielen.

Der Hilbertraum $L^{2}$L2

Sei $(\Omega, \mathcal A, \mu)$(Ω,A,μ) ein Maßraum, $(H, \langle\cdot,\cdot\rangle_H)$(H,⟨⋅,⋅⟩H​) ein Hilbertraum (häufig $\mathbb C$C mit dem Skalarprodukt $\langle w,z\rangle = w\overline z$⟨w,z⟩=wz) und $f,g\in L^2(\Omega, \mathcal{A}, \mu;H)$f,g∈L2(Ω,A,μ;H). Dann definiert $\langle f,g\rangle_{L^2(\Omega,\mathcal A, \mu; H)}:=\int\limits_\Omega \langle f(x),g(x)\rangle_H \, d\mu(x)$⟨f,g⟩L2(Ω,A,μ;H)​:=Ω∫​⟨f(x),g(x)⟩H​dμ(x) ein Skalarprodukt auf $L^{2}$L2. Dieser Raum ist bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm vollständig und damit selbst wieder ein Hilbertraum.

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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